Vectoren en notatie (artikel) |Khan Academy (2023)

Vectoren zijn de bouwstenen van alles wat multivariabel is.We gebruiken ze wanneer we een coördinaat in een hogere dimensionale ruimte willen vertegenwoordigen of, meer in het algemeen, om een lijst van iets te schrijven.In dit artikel zullen we behandelen wat vectoren zijn, verschillende manieren om ze te schrijven en de drie basisvectorbewerkingen.

Over het algemeen is een vector een lijst met dingen.In multivariabele calculus betekent "ding" meestal "nummer", maar niet altijd.We zullen bijvoorbeeld een vector zien die bestaat uit afgeleide operators wanneer we het hebben over multivariabele derivaten.Deze algemeenheid is super handig.

Wanneer een vector slechts een lijst met nummers is, kunnen we deze visualiseren als een pijl in de ruimte.We visualiseren bijvoorbeeld de vector$(4,2)$((4,,2))linker haakjes, 4, komma, 2, rechter haakjesals een pijl wiens staart aan de oorsprong is en wiens punt op het punt staat$(4, 2)$((4,,2))linker haakjes, 4, komma, 2, rechter haakjes.Om deze reden maken we meestal geen onderscheid tussen punten en vectoren in multivariabele calculus.

Soms trekken we echter een vector met de staart weg van de oorsprong.Dit verandert niets aan de vector, alleen waar we hem tekenen.We kunnen bijvoorbeeld ook de vector tekenen$(4,2)$((4,,2))linker haakjes, 4, komma, 2, rechter haakjesbeginnend bij$(0, 2)$((0,,2))linker haakjes, 0, komma, 2, rechter haakjes.Beide pijlen komen overeen met de vector$(4,2)$((4,,2))linker haakjes, 4, komma, 2, rechter haakjes, hoewel een van hen op het punt niet eindigt$(4,2)$((4,,2))linker haakjes, 4, komma, 2, rechter haakjes.

Daarom kan het soms verwarrend zijn om vectoren precies zoals punten in de ruimte te schrijven.Om deze reden hebben mensen andere notaties voor vectoren bedacht.

Er zijn veel manieren om vectoren te schrijven.Hier zijn de drie die we het meest gebruiken in deze cursus.De kleine pijl bovenop$\ ding {v}$vv, met vector, bovenopis een conventie dat dat aangeeft$\ ding {v}$vv, met vector, bovenopverwijst naar een vector.

De eerste notatie is wat we eerder hebben besproken.Technisch gezien verwijst het naar een punt, maar we gebruiken het door elkaar om naar een vector te verwijzen.Deze notatie strekt zich uit tot een aantal dimensies.

De tweede notatie is matrixnotatie, die we ook kunnen uitbreiden tot zoveel dimensies als we willen.Matrixnotatie is vooral nuttig als we denken aan vectoren die interactie met matrices.We zullen besprekenmatricesEnhoe ze ze visualiserenin komende artikelen.

De derde notatie werkt, in tegenstelling tot de vorige, alleen in 2D en 3D.Het symbool$\ blued {\ hat {\ imath}}$I^Start kleur #11ACCD, \ imath, met, hoed, bovenop, eindkleur #11ACCD(uitgesproken als "I hat") is de eenheid$X$XXvector, dus$\ blued {\ hat {\ imath}} = (1, 0, 0)$I^=((1,,0,,0))Start kleur #11ACCD, \ imath, met, hoed, bovenaan, eindkleur #11ACCD, gelijk aan, linkse haakjes, 1, komma, 0, komma, 0, rechter haakjes.Evenzo,$\ Maroond {\ hat {\ jMath}} = (0, 1, 0)$ȷ^​=((0,,1,,0))Start kleur #CA337C, \ JMATH, met, hoed, bovenaan, eindkleur #Ca337C, is gelijk aan, linkse haakjes, 0, komma, 1, komma, 0, rechter haakjesEn$\ green {\ hat {k}} = (0, 0, 1)$k^=((0,,0,,1))Start kleur #1fab54, k, met, hoed, bovenaan, eindkleur #1fab54, is gelijk aan, linker haakjes, 0, komma, 0, komma, 1, rechter haakjes.Deze notatie kan logischer zijn zodra we vector -toevoeging dekken.

In deze cursus gebruiken we bijna altijd het$(1, 2, 3)$((1,,2,,3))linker haakjes, 1, komma, 2, komma, 3, rechter haakjesNotatie in oefeningen, omdat het ruimte bespaart wanneer we meerdere variabelen moeten definiëren.De video's gebruiken een mix van matrixnotatie en de$1 \ blued {\ hat {\ imthh}}}} + 2 \ maroonons {\ hat {\ imthh}} + 3 \ green {\ hat {k}}$1I^+2ȷ^​+3k^1, start kleur #11ACCD, \ imath, met, hoed, bovenaan, eindkleur #11ACCD, plus, 2, start kleur #ca337c, \ jmath, met, hoed, bovenaan, eindkleur #ca337c, plus, 3,Start kleur #1fab54, k, met, hoed, bovenop, eindkleur #1fab54Notatie.

Een van de basisvectorbewerkingen is toevoeging.Over het algemeen voegen we, wanneer we twee vectoren toevoegen, hun overeenkomstige componenten toe:

Dit werkt in een aantal dimensies, niet alleen drie.We kunnen de som visualiseren$\ Blued {\ ed {a}} + \ MarOond {\ Thing {b}}$A+BStart kleur #11ACCD, A, met, vector, bovenaan, eindkleur #11ACCD, plus, start kleur #CA337C, B, met, vector, bovenaan, eindkleur #CA337Cals het schuiven van de staart van$\ Marond {\ ding {b}}$BStart kleur #CA337C, B, met, vector, bovenop, eindkleur #CA337Ctot het puntje van$\ blued {\ vec {a}}$AStart kleur #11ACCD, A, met, vector, bovenop, eindkleur #11ACCD.Hier is een voorbeeld daarvan in 2D.

Laten we een oefenvraag proberen.

Als u dieper wilt gaan, leer dan hoe u vectortoevoeging visueel kunt begrijpendeze videoen ga oefenen metdeze oefening.

De tweede basisvectorbewerking is scalaire vermenigvuldiging, dat is wanneer we een vector uitrekken of verkleinen.Scalar is slechts een chique woord voor nummer (dezelfde root als het woordschaling).Hier is een voorbeeld van hoe het werkt:

Over het algemeen betekent het schalen van een vector met een nummer dat elk van de componenten van de vector met dat aantal vermenigvuldigt.Dat betekent

Laten we een voorbeeld proberen.

De intuïtieve betekenis van het schalen van een vector met een factor$2$22Is dat we de vector twee keer zo lang maken.Dit is hoe dat eruit ziet:

Schalen door een factor$0,5$0.50, punt, 5Maakt een vector half zo lang.Dit zou eruit zien als de bovenstaande vector$(2, 4)$((2,,4))linker haakjes, 2, komma, 4, rechter haakjesworden$(1, 2)$((1,,2))linker haakjes, 1, komma, 2, rechter haakjes, in plaats van andersom.

Schalen door een factor$-1$-1Min, 1betekent het omdraaien van de richting van een vector, omdat elk van zijn componenten het tegenovergestelde wordt van wat het vroeger was.Hier is een voorbeeld van hoe dat eruit ziet:

Wanneer we vectoren visualiseren als pijlen, kan een natuurlijke vraag die we moeten stellen zijn: "Hoe lang is het?"De omvang van een vector beantwoordt deze vraag.We schrijven de omvang van een vector met dubbele staven aan beide zijden, of soms met slechts enkele balken:$\ |\ ding {A} \ |$∥A∥\ |, a, met, vector, bovenaan, \ |of$|\ ding {a} |$∣A∣verticale balk, a, met, vector, bovenop, verticale balk.

We berekenen de grootte met de Pythagorische stelling, omdat we een vector kunnen beschouwen als de hypotenusa van een driehoek.Dit is gelijk aan het gebruik van de afstandsformule, dus de grootte van de vector$(a, b)$((A,,B))linker haakjes, a, komma, b, rechter haakjesis$\ sqrt {a^2 + b^2}$A2+B2​vierkante wortel van, a, vierkante, plus, b, vierkante en vierkante wortel.

Laten we een voorbeeld proberen.

Magnitude werkt hetzelfde in 3D en in hogere dimensies.

Naast aanvulling, scalaire vermenigvuldiging en grootte, zijn er nog twee belangrijke bewerkingen tussen vectoren.Dit zijn depunt producten dekruisproduct, en we zullen ze in de volgende twee artikelen behandelen.